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因式分解的十二种方法  

2010-12-14 08:25:10|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自张茵数理化精英《因式分解的十二种方法》

 

因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 
1、 提公因法 
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) 
x -2x -x=x(x -2x-1) 
2、 应用公式法 
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 
解:a +4ab+4b =(a+2b) 
3、 分组分解法 
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 
例3、分解因式m +5n-mn-5m 
解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n 
= (m -5m )+(-mn+5n) 
=m(m-5)-n(m-5) 
=(m-5)(m-n) 
4、 十字相乘法 
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 
例4、分解因式7x -19x-6 
分析: 1 -3 
7 2 
2-21=-19 
解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3) 
5、配方法 
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 
例5、分解因式x +3x-40 
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 
=(x+ ) -( ) 
=(x+ + )(x+ - ) 
=(x+8)(x-5) 
6、拆、添项法 
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) 
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) 
=(c+b)(c-a)(a+b) 
7、 换元法 
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。 
例7、分解因式2x -x -6x -x+2 
解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x 
=x [2(x + )-(x+ )-6 
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 
= x [2(y -2)-y-6] 
= x (2y -y-10) 
=x (y+2)(2y-5) 
=x (x+ +2)(2x+ -5) 
= (x +2x+1) (2x -5x+2) 
=(x+1) (2x-1)(x-2) 
8、 求根法 
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 
解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 
9、 图象法 
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 
例9、因式分解x +2x -5x-6 
解:令y= x +2x -5x-6 
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 
10、 主元法 
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 
分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 
解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) 
=(b-c) [a -a(b+c)+bc] 
=(b-c)(a-b)(a-c) 
11、 利用特殊值法 
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 
例11、分解因式x +9x +23x+15 
解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 
则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5) 
12、待定系数法 
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 
例12、分解因式x -x -5x -6x-4 
分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 
解:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) 
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 
所以 解得 
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

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